| просто анон пишет: |
| не всё математика. "Контрпримером" может быть воспроизводимый факт. |
Флуд, конечно, но чтобы отвлечься от армии и других не слишком весёлых тем. Я вчера проверял письменные работы на вступительном экзамене на мехмат МГУ (который проводился опять дистанционно, что меня очень удивило — как будто пандемия еще не кончилась, или уже испугались кори?). Один из абитуриентов написал и затем использовал в решении такое неравенство:
(a+b+c)/2 >= sqrt(a*b*c)
Вообще-то он имел в виду хорошо известное школьникам неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому, причем равенство достигается только при a=b=c) — только там надо делить сумму на 3 и извлекать из произведения кубический, а не квадратный корень. Я с ходу далеко не сразу нашел контрпример: например, при a=b=c=2 неравенство справедливо (левая часть равна 3, правая — приблизительно 2.828). Но, подставив a=b=c=4 (а я нашел это число где-то раза с десятого), получаем контрпример:
(4+4+4)/2=6, sqrt(4*4*4)=8.
Ура! Можно спокойно ставить минус абитуриенту за эту задачу.
Мне это так понравилось, что я даже решил уравнение:
(a+a+a)/2=sqrt(a*a*a)
Равенство выполняется при a=9/4=2.25, строгое неравенство при меньших a, неравенство не выполняется при a>9/4.
При проверках подобные контрпримеры приходится придумывать постоянно, когда тебе кажется, что абитуриент пишет какую-то лажу. Причем очень часто оказывается, что это вовсе не лажа, например, нынешние школьники запросто применяют при решении геометрических задач теоремы Паппа, Дезарга, Менелая, о которых я, будучи школьником, и не слышал даже (да и сейчас вряд ли с ходу воспроизведу их).
Больше всего меня потряс один абитуриент. В задании было 7 задач (на 3 часа), причем первые 4 задачи, не такие уж и простые, решали почти все, а последние 3 задачи — почти никто. А он решил все 7 (правда, последнюю чуть-чуть не до конца, получил оценку 100 баллов из 105 возможных). Но в решении выписывал просто равенства (например, равенство двух углов во вписанном 4-х угольнике, опирающихся на одну и ту же дугу) без всякого упоминания, почему они справедливы (мол, сами догадайтесь, для меня это очевидно!), мне для проверки геометрической задачи, решение которой у него поместилось на пол-страницы, потребовался почти час (и это в 2 часа ночи после 14 часов почти непрерывной проверки). И у него в работе почти одни чистовики, в черновиках ничего по этим трём сложным задачам нет. В задаче об условном экстремуме он виртуозно выписывает неравенства типа
(a^2 + b^2)/2 >= ab
(узнаёте? это неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для чисел a^2 и b^2, я не сразу догадался, а он не потрудился ничего объяснять). И потрясающе красиво комбинирует подобные неравенства, блестяще получая правильное решение и правильный ответ. Я убежден, что для обычных людей (и особенно немного туповатых, как я) подобное невозможно; будь ты любым гением, в этих задачах приходиться долго искать правильное решение, перебирая неудачные пути и исписывая листы черновика. А тут всё выписано аккуратно и компактно сразу в чистовике. В общем, "иллюзия обмана"! конечно, проконтролировать экзамен никакими камерами и наблюдением экрана компьютера абитуриента невозможно. Приходится лишь надеяться на порядочность абитуриентов — и, безусловно, подавляющее большинство порядочны, но исключения тоже неизбежны.
